গণিতের শর্টকাট যাদু দেখুন।।

১) এক সূত্রেই সব সমস্যার সমাধান!

একটা সূত্র দিয়ে যদি পুরো চ্যাপ্টারের সব অংক করে ফেলা যায় তাহলে ব্যাপারটা খুব মজাদার, তাই না?
স্কুলের সাধারণ গণিতে ‘শ্রমিক ও কাজ’ নামক চ্যাপ্টারটা প্রায় সব ক্লাসেই থাকে। আবার বিশ্ববিদ্যালয়, বিসিএস ও ব্যাংক জবের পরীক্ষাগুলোতেও এই চ্যাপ্টারটা থাকেই। আমরা সাধারণত এসব অংক ঐকিক নিয়মে করি। কিন্তু সমস্যা হলো এতে আমরা খুব সহজেই কনফিউজড হয়ে যাই কোনটা নিচে হবে আর কোনটা উপরে হবে।
আবার নৈর্ব্যক্তিক হলে তো সাধারণ নিয়মে করাটাই ভুল হবে, কারণ একটা নৈর্ব্যক্তিক পূরণের জন্য ৩৫-৪০ সেকেন্ড সময় থাকে। তাহলে, এ অল্প সময়ে খুব সহজেই এই চ্যাপ্টারের অংকগুলো কীভাবে করবো? চলো দেখে নেই একটা অসাধারণ ট্রিক-
এ ধরনের অংকে সাধারণত দুটি অংশ থাকে
১. সম্পূর্ণ পর্বে কাজ, শ্রমিক এবং সময়ের বিবরণ থাকে।
২. অসম্পূর্ণ পর্বে আরও একটা নতুন বিবরণ দেয়া থাকে কিন্তু যেকোন একটা ইনফরমেশন মিসিং থাকে এবং সেটা জানতে চাওয়া হয়।
একটা অংক করে বুঝে নিই-
২০ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে (সম্পূর্ণ পর্ব)।
এরকম ২টি কাজ ২৫ জন লোকের করতে কতদিন লাগবে? (অসম্পূর্ণ পর্ব)

এ সমস্যাটা সমাধান করতে আমি চিত্রের সূত্রটি ব্যবহার করবো।

সম্পূর্ণ পর্বটি সূত্রের প্রথম অংশে বসিয়ে দিবো, দ্বিতীয় অংশে অসম্পূর্ণ পর্বটি বসিয়ে দিবো। যেই ইনফরমেশনটি মিসিং থাকবে তার পুরো অংশটি বজ্রগুণন করে লাইনের নিচে নিয়ে আসবো, বাকিটা লাইনের উপরে বসিয়ে দিবো। এবার কাটাকাটি বা ভাগ করে উত্তর বের করে ফেলবো।

এই সূত্রের আরেকটা সুবিধা হলো শ্রমিকের জায়গায় তুমি চাইলেই মেশিন কিংবা বস্তু জাতীয় যেকোন কিছুকে বসাতে পারো যেগুলো শ্রমিকের মতো কাজ করতে পারে।

যেমন- ১৪টি পাম্প (শ্রমিকের ন্যায়) ৬ দিনে একটা ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে। ৪ দিনে ট্যাংকটি পূর্ণ করতে কয়টি অতিরিক্ত পাম্প লাগবে?

এ অংকটার প্রধান বিষয় হলো সঠিকভাবে ইনফরমেশনগুলো বসাতে পারা। বসাতে পারলে সব সমাধান ১ সূত্রেই করা যায়। এজন্য বিশেষ কিছু নির্দেশনা –

১. সময়ের জায়গায় যদি সময়ের একাধিক একক দেয়া থাকে তাহলে সব একক গুণ করে দিবে। যেমন- ১৪ জন লোক একটি কাজ প্রতিদিন ৬ ঘণ্টায় করে ১৬ দিনে একটা কাজ শেষ করে। এরকম হলে সময়ের জায়গায় (১৬×৬) বসিয়ে দাও।

২. কাজের জায়গায় যতটা কাজ ততটাই দিতে হয়। ১টা হলে ১, ৫টা হলে ৫ বসিয়ে দিবে। যদি কাজের মধ্যে ভগ্নাংশ থাকে, তাহলে ভগ্নাংশ আকারেই বসাতে হবে। যেমন- ১৫ জন শ্রমিক একটি পুকুরের ১/৪ অংশ খনন করে ৫ দিনে। ১২ জন শ্রমিকের ৪ টা পুকুর খনন করতে কতদিন লাগবে?

৩. নারী অথবা পুরুষ দেয়া থাকলে যেকোন একটাতে রূপান্তর করে নিতে হবে। যেমন – ৬ জন নারী অথবা ৪ জন পুরুষ একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৮ জন নারী এবং ৬ জন পুরুষের করতে কতদিন লাগবে?

ধরো, আমি নারীতেই রূপান্তর করবো। ৪ জন পুরুষ = ৬ জন নারী হলে, ৬ জন পুরুষ = (৬/৪×৬) = ৯ জন নারী। এখন প্রথম অংশে ৪ জন পুরুষ অংশটি কেটে দিব। কারণ যেকোন একটা নিয়েই করতে হবে এবং আমি নারীর সংখ্যা দিয়েই করছি। দ্বিতীয় অংশে ৬ জন পুরুষ কেটে দিয়ে ৯ জন নারী লিখবো। ফলে মোট শ্রমিকের সংখ্যা হবে (৮+৯) = ১৭ জন। এবার অংকটা আগের নিয়মেই করবো।

৪. অনেক সময় কাজের জায়গায় সরাসরি কাজ শব্দটি থাকবে না। বুঝে নিতে হবে কোনটা কাজ। যেমন- একটি লোক একটি ৫৬ মিটার দেয়াল রং করতে পারে ৬ দিনে। এখানে ৫৬ মিটার হলো কাজ।

২) সিরিজ

১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ………….., ৯৬ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি এবং গড় কত?

প্রশ্নটি খেয়াল করলে বুঝতে পারবে সিরিজটির প্রত্যেকটি সংখ্যার পার্থক্য সমান। সাধারণভাবে এই সিরিজটার সমষ্টি এবং গড় বের করা অনেক সময়ের ব্যাপার। এ ধরনের কোন সিরিজের সংখ্যাগুলোর পার্থক্য সমান হলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

গড়- (১ম সংখ্যা+ শেষের সংখ্যা) /২

সমষ্টি- গড় × মোট সংখ্যা

এখানে গড়= (১২+৯৬)/২= ৫৪

সমষ্টি বের করার জন্য আগে আমাদের মোট সংখ্যা বের করতে হবে। সংখ্যাগুলোর পার্থক্য ৪, তাই মোট সংখ্যা হবে (৯৬/৪)-২= ২২, এখানে ২ বিয়োগ দেয়ার কারণ হলো ৪ এবং ৮ সংখ্যা দুইটা সিরিজে নেই।

সুতরাং সমষ্টি= (৫৪×১২) = ৬৪৮
৩) ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা

মৌলিক সংখ্যা হলো যেই সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না এবং যার দু’টি অনন্য উৎপাদক রয়েছে। ‘৪৪২২৩২২৩২১’ এই সিকুয়েন্সটা মনে রেখো। প্রথম ৪ এর মানে হলো ১-১০ এর মধ্যে ৪টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এভাবে ১১-২০ এর মধ্যে ৪টি, ২১-৩০ এর মধ্যে ২টি, ৩১-৪০ এর মধ্যে ২টি এভাবে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

আবার,

১-৫০ এ মোট ১৫টি

৫১-১০০ এ মোট ১০টি

৯০-১০০ এ মাত্র ১টি (৯৭)

একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ২